이곳은 개발을 위한 베타 사이트 입니다.기여내역은 언제든 초기화될 수 있으며, 예기치 못한 오류가 발생할 수 있습니다.문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 베르누이 수열 (문단 편집) == 정의 == 다음 [[생성함수]]를 이용하여 정의된다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned} \frac x{e^x-1} = \frac x2 \biggl( \coth \frac x2 -1 \biggr) &= 1 -\frac12x + \frac1{12}x^2 + \cdots \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}x^n &= B_0 + B_1x + \frac{B_2}2x^2 + \cdots \end{aligned})]}}}|| [math(B_1 = \dfrac12)]인 [math(B^+_n)]의 경우, 위의 테일러 급수의 계수 관계를 비교하면 [math(x)]만큼을 더한 급수라는 것을 쉽게 알 수 있으므로 다음과 같이 정의된다. 각 항에 [math(x)]를 더하면 다음과 같다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned} \frac x{e^x-1} +x = \frac{xe^x}{e^x-1} = \frac x2 \biggl( \coth \frac x2+1 \biggr) &= 1 +\frac12x + \frac1{12}x^2 + \cdots \\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n^+}{n!}x^n &= B_0 + B_1^+x + \frac{B_2}2x^2 + \cdots \end{aligned} )]}}}|| 한편, [math(B_n)]의 식에 [math(x)] 대신 [math(-x)]를 대입한 후 [math(B^+_n)]의 식과 비교하면 아래의 결론을 얻는다. || [math(\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}(-x)^n &= \sum_{n=0}^\infty\frac{\color{red}(-1)^nB_n}{n!}x^n \\ &= \frac{-x}{e^{-x}-1} = \frac x{1-e^{-x}} = \frac{xe^x}{e^x-1} \\ &= -\frac x2 \biggl\{ \coth \biggl(-\frac x2\biggr) -1 \biggr\} = \frac x2 \biggl(\coth\frac x2 +1 \biggr) \\ &= \sum_{n=0}^\infty\frac{\color{blue}B_n^+}{n!}x^n \end{aligned})] || 따라서 [math(B_n^+ = (-1)^nB_n)]이라는 관계가 유도된다. 그러나 [math(\coth)] 함수와 연관된 특성으로부터(후술), [math(n\ge3)]인 홀수 [math(n)]에 대하여 [math(B_n = B_n^+ = 0)]이므로 사실상 위 관계식이 영향을 주는 경우는 [math(B_1^+ = -B_1)] 밖에 없다고 봐도 무방하다. [math(B_n)]의 값을 구할 때는, 물론 위 식들을 직접 [math(n)]번 미분하고 [math(x=0)]을 대입하는 미친짓(……)으로 값을 계산하진 않고, 각 식의 역수들이 테일러 급수식으로 용이하게 나타낼 수 있다는 점을 이용해서 점화식을 유도하여 계산하는 것이 일반적이다. [math(B_n)]에 관한 식에서 양변에 ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{e^x -1}x &= \frac1x \Biggl(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} -1 \Biggr) = \frac1x \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(n+1)!} \\ &= 1 +\frac x{2!} +\frac{x^2}{3!} +\frac{x^3}{4!} +\cdots \end{aligned} )]}}}|| 를 곱하면 좌변이 [math(1)]이 되므로 우변의 급수식을 적절하게 변형해주면 점화식이 얻어진다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} 1 = \frac x{e^x -1} \cdot \frac{e^x -1}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}x^n \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(n+1)!} \\ &= \!\left( B_0 +\frac{B_1}{1!}x +\frac{B_2}{2!}x^2 +\frac{B_3}{3!}x^3 + \cdots \right) \!\left( 1 +\frac x{2!} +\frac{x^2}{3!} +\frac{x^3}{4!} + \cdots \right) \\ &= \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{B_rx^r}{r!} \frac{x^{n-r}}{(n-r+1)!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{B_r x^n}{r!(n-r+1)!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{r=0}^n \frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!} \frac{B_r x^n}{(n+1)!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac1{(n+1)!} \sum_{r=0}^n \!\binom{n+1}r B_rx^n \\ &= B_0 +\frac1{2!} \sum_{r=0}^1 \!\binom2r B_rx +\frac1{3!} \sum_{r=0}^2 \!\binom3r B_rx^2 +\frac1{4!} \sum_{r=0}^3 \!\binom4r B_rx^3 + \cdots \end{aligned} )]}}}|| 항등식이므로 [math(\displaystyle \sum_{r=0}^n \!\binom{n+1}r B_r = \delta_{0,\,n})]이며(단, [math(\delta_{0,\,n})]은 [[크로네커 델타]]) 이 식으로부터 점화식이 얻어진다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{r=0}^n \!\binom{n+1}r B_r &= \sum_{r=0}^{n-1} \!\binom{n+1}r B_r +(n+1)B_n = \delta_{0,\,n} \\ \therefore B_n &= \delta_{0,\,n} - \frac1{n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \!\binom{n+1}r B_r \end{aligned} )]}}}|| 제1항이 [math(\dfrac{\delta_{0,\,n}}{n+1})]이 아닌 이유는, [math(n=0)]이면 [math(\dfrac{\delta_{0,\,n}}{n+1}=1)]이고 [math(n\ge1)]이면 [math(\dfrac{\delta_{0,\,n}}{n+1}=0)]이므로 사실상 [math(\dfrac{\delta_{0,\,n}}{n+1})]과 [math(\delta_{0,\,n})]의 값이 같기 때문이다. 보통은 [math(n\ge1)]이라는 조건을 붙이지만, 공합(empty sum)[* 더해지는 수열 [math(a_n)]의 종류에 관계없이 [math(\alpha<\beta)]에 대해 합의 범위가 [math(\displaystyle\sum_{n=\beta}^\alpha a_n)]으로 주어지는 것.]을 [math(0)]으로 약속하는 일반적인 정의에 따르면 위 식은 음이 아닌 정수에 대해 성립한다. 한편, [math(\coth x)]는 정의에 따라 다음과 같이 나타내어지는데, 바로 위의 [[생성함수]]를 이용하여 표현할 수 있다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\displaystyle \begin{aligned} \coth x &= \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{\dfrac{e^x + e^{-x}}2}{\dfrac{e^x - e^{-x}}2} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1} = 1+\frac2{e^{2x}-1} = 1+\frac1x \frac{2x}{e^{2x}-1} \\ &= 1 +\frac1x \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} (2x)^n \\ &= 1 +\sum_{n=0}^\infty \frac{2^n B_n}{n!} x^{n-1} \end{aligned} )]}}}|| [[삼각함수#s-8.2|쌍곡선 함수를 복소평면으로 확장시키면]] [math(\cosh ix = \cos x)], [math(\sinh ix = i \sin x)]의 관계가 있음을 알 수 있고, 이로부터 [math(\coth ix = -i\cot x)]임을 알 수 있으므로 위의 테일러 전개식에 [math(ix)]를 대입하면 아래와 같다. || [math(\displaystyle\begin{aligned} \coth ix &= 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac{2^nB_n}{n!}(ix)^{n-1} = 1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{n-1}B_n}{n!}x^{n-1} \\ &= 1 + 2 \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(2i)^{2n}B_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} \right\} \\ &= \left\{ 1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} \right\} - i\left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \right\} \\ &= -i\cot x \end{aligned})] || 따라서 실수부는 [math(0)]이 되어야 하고, 허수부의 급수는 곧 [[테일러 급수/목록#나머지 함수들|[math(\cot x)]의 테일러 급수]]가 된다. 위 식의 실수부는 || [math(\displaystyle1 + 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} = 1 + 2B_1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-4)^nB_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n} = 0)] || 이므로 [math(B_{2n+1} = -\dfrac12 \delta_{0,\,n})]이 얻어지며, 이 식으로부터 [math(3)] 이상의 홀수항은 [math(0)]이 된다는 것을 알 수 있다. 이 사실을 이용하면, 전술했던 베르누이 수열의 점화식도 다음과 같이 축약시킬 수 있게 된다. || [math(\displaystyle\begin{aligned} B_{2n} &= \delta_{0,\,n} - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{2n-1} \binom{2n+1}rB_r = \delta_{0,\,n} + \frac12(1 - \delta_{0,\,n}) - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \\ &= \frac{1 + \delta_{0,\,n}}2 - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \end{aligned})] || [math(\dfrac12(1-\delta_{0,\,n}))]은 합의 기호 부분에서 [math(r=1)]일 때, 즉 [math(B_1)]이 곱해진 항을 계산하여 빼낸 부분인데, [math(n=0)]이면 [math(r=1)]인 항이 존재하지 않으므로 해당 항이 [math(0)]이 되면서 [math(n\ge1)]이면 [math(\dfrac12)]로 남아있도록 변형한 것이다. 이를 정리하면 아래와 같다. || [math(\displaystyle\therefore B_n \begin{cases} \begin{aligned} B_{2n} &= \frac{1 + \delta_{0,\,n}}2 - \frac1{2n+1} \sum_{r=0}^{n-1} \binom{2n+1}{2r}B_{2r} \\ B_{2n+1} &= -\frac12\delta_{0,\,n} \end{aligned} \end{cases})] ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기